[Un peu de maths?] Le vertige de l’infini

J’étais tellement impatiente de tester ce nouveau format (à savoir, te proposer quelques vulgarisations de concepts mathématiques super chouettes, comme je l’ai annoncé ici) qu’on va commencer tout de suite (faisant fi de toutes les autres choses que j’ai sur le feu, eh oui).

Le premier concept dont j’ai envie de parler avec toi, c’est une notion essentielle en mathématiques, qu’on manipule tous les jours mais qu’on ne comprend pas vraiment : l’infini. On fait semblant de l’apprivoiser : on lui a mis un petit symbole sympa , on est capable de répondre à des questions comme « Eh, il se passe quoi si je fais 1 + 1 + 1 + 1 + … sans jamais m’arrêter ? » « Bah ça va vers l’infini », si on doit vraiment essayer de se le représenter on pense à un truc super grand, mais la vérité c’est qu’on n’a pas du tout envie d’y penser trop longtemps parce qu’on n’a aucune idée de à quel point c’est grand. Après tout, l’humain est fini, tout ce qui est autour de nous est fini, évidemment qu’on ne peut pas réellement visualiser quelque chose d’infini.

Mais il existe quand même des moyens d’approcher un tout petit peu l’immensité de ce concept, et je te préviens tout de suite, ça fait froid dans le dos. J’ai choisi de te présenter aujourd’hui un moyen qui personnellement m’a emballée au plus haut point, en te parlant d’un chiffre pas foufou à premier abord : 52! (à prononcer 52 factoriel).

Tout d’abord, pourquoi ce chiffre ? Tout part d’un problème extrêmement simple et qui peut parler à tout le monde : en mélangeant un jeu de 52 cartes, combien de combinaisons différentes peut-on faire ? Que les choses soient claires, on ne parle pas de les distribuer à des gens, ce qui changerait la réponse : si on les distribue entre quatre personnes par exemple, si je reçois le 2 de coeur et ensuite le 4 de carreau, j’aurais pu les recevoir dans un autre ordre mais ça ne change pas mon jeu final puisque j’organise mes cartes moi-même dans ma main. Là, on veut vraiment prendre tout le paquet et regarder les cartes les unes après les autres : à ce moment-là, échanger le 2 de coeur et le 4 de carreau crée une nouvelle combinaison. La réponse à cette question, le mathématicien la connaît : 52!. Derrière cette notation se cache un calcul tout bête : 52 factoriel, c’est 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x … x 1. Si tu veux l’explication c’est simplement que pour la première carte du paquet on a 52 possibilités, mais pour la deuxième carte on n’en a plus que 51 puisqu’on a déjà utilisé une carte pour la première position, ensuite 50 possibilités pour la troisième carte, etc. jusqu’à la dernière carte, qui est forcément la dernière qu’on a à disposition. Bref, ça c’est ce qu’on appelle de la combinatoire, c’est pas exactement ce qui nous intéresse aujourd’hui.

Si tu avais dû résoudre cette question dans un exercice de maths, tu aurais mis la réponse, 52!, et tu serais passé à la suite. Mais hey, est-ce qu’on arrive à se représenter la taille de ce chiffre ? Qu’est-ce qui se cache exactement derrière cette notation ? Eh bien la réponse numérique, c’est ça :

 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

Alors ok, c’est un grand chiffre, le genre qui ne rentre pas sur l’écran de ta calculatrice. Certes. Mais bon, il tient sur une ligne (ou deux suivant la taille de ton écran, arrête de faire le malin), on pourrait écrire des chiffres bien plus grands si on n’avait que ça à faire. Et pourtant, tu vas vite te rendre compte que ce chiffre est DÉMENTIELLEMENT grand. A partir de là, je vais me baser sur une explication qui vient tout d’abord de là (en version écrite et un peu brutale) et qui a ensuite été vulgarisée par Vsauce (un très chouette youtubeur qui parle de maths – en anglais par contre) et par Tim Urban de Wait But Why (c’est cette version-là que j’ai vue en premier). C’est parti.

Place-toi quelque part sur l’équateur, un paquet de 52 cartes dans les mains, et imagine que tu mélanges tes cartes une fois par seconde. On va aussi partir du principe que tu ne fais jamais deux fois la même combinaison, ce qui est hautement improbable mais si tu as des répétitions ça ne fait que rallonger l’expérience, alors c’est encore pire. On se dit que tu n’arrêteras l’expérience que lorsque tu auras fait toutes les combinaisons possibles de ton paquet de cartes, c’est-à-dire que tu vas t’arrêter après 52! secondes. Bien.

Alors admettons que tu restes sur place pendant un milliard d’années, à mélanger tes cartes une fois par seconde. A la fin de ce milliard d’années, tu as le droit de faire un pas en avant (le long de l’équateur). Ensuite tu t’embarques à nouveau dans un milliard d’années de mélange de cartes. A la fin de ce second milliard d’années, tu refais un pas. Et tu vas continuer comme ça jusqu’à faire le tour de la Terre (ce qui va donc te prendre un certain temps, tu peux me croire).

Une fois que tu es revenu à ton point de départ, tu vas prendre une goutte de l’océan Pacifique (et on admet qu’elle disparaît dans l’atmosphère). Ensuite, tu recommences : tu mélanges tes cartes une fois par seconde, tu fais un pas tous les milliards d’années, et tu refais un tour de la Terre avant de prendre une deuxième goutte de l’océan Pacifique.

Quand tu as vidé l’océan Pacifique, (à coup de « une goutte à la fois après avoir fait le tour de la Terre en marchant d’un pas par milliard d’années » hein, faudrait surtout pas qu’on l’oublie), on te donne une feuille de papier, que tu poses à côté de toi. Ensuite, on te re-remplit l’océan Pacifique et tout recommence. Tu mélanges une fois par seconde, tu fais le tour du monde, tu prends une goutte d’eau, tu remarches, tu vides l’océan Pacifique, on te donne une deuxième feuille que tu viens mettre par-dessus la première.

Au bout d’un moment, ta pile de feuilles de papier va toucher le Soleil. Alors tu recommences une autre pile de papier à côté de la première, toujours avec les mêmes règles. Et quand tu parviens à 1000 piles de papier qui touchent le Soleil, tu n’es arrivé qu’à un TIERS des possibilités de mélanger un paquet de 52 cartes. (Si tu veux vraiment aller au bout des 52! secondes, Vsauce te propose un autre moyen d’occuper les deux tiers restants, à base de grains de sable pour remplir le grand Canyon et de cailloux à enlever du Mont Everest, mais je pense que tu as compris le principe). Une conclusion immédiate de tout ça, c’est que si on te présentait un jeu de cartes dans un ordre bien précis et qu’on te demandait si cet ordre-là avait déjà été obtenu quelque part sur Terre depuis l’invention des jeux de cartes, vu le nombre total de possibilités, tu ferais mieux de parier que non.

Et quand tu commences à te représenter tout ça et que tu flippes, parce que gosh, ça c’est seulement un tiers de 52!, imagine ce que c’est quand on parle d’éternité, eh bien ce sentiment c’est ce qu’on appelle le vertige de l’infini, ce moment où tu touches du doigt une infime représentation de l’immensité de ces nombres et que tu réalises à quel point tu es petit en comparaison.

Je m’arrête là, ça fait déjà un sacré morceau à avaler, et je te laisse avec les Mother Mother qui philosophent sur l’immensité du monde. Si tu n’as pas encore fait de syncope, la prochaine fois on continuera sur l’infini avec le paradoxe de Banach-Tarski et des histoires de chambres d’hôtel ! Et si tu as adoré ressentir le vertige de l’infini et que tu en redemandes, je te conseille l’article (en anglais) de Wait But Why sur le nombre de Graham, le plus grand nombre utilisé dans une preuve de maths (et lààààà, ça fait vraiment peur). De quoi frimer pendant les repas de famille !