[Un peu de maths?] Le paradoxe de Banach-Tarski

Je t’ai laissé cogiter tranquillement un mois sur notre première leçon de maths, c’est le moment d’en rajouter une couche avant que tu aies tout oublié (serais-je en train de trouver un rythme dans mes publications ? Est-ce possible ?). Je me lance dans un sujet plutôt costaud cette fois-ci, parce que sinon la vie serait trop simple. Après tout, tout ce que je risque, c’est de te dégoûter à jamais de ce rendez-vous mensuel (et des maths en général) (argh). Alors je vais essayer de rester le plus possible dans les explications et les concepts, sans entrer dans les détails techniques.

La dernière fois, je te parlais de l’infini, cette notion impossible à imaginer et qu’on manipule pourtant régulièrement comme si tout était parfaitement normal. Alors forcément, puisqu’on n’arrive pas à comprendre l’infini, c’est le terrain de jeu parfait pour des paradoxes. Et aujourd’hui, justement, on va parler du paradoxe de Banach-Tarski, aussi appelé paradoxe du petit pois et du soleil (est-ce que ça te fait un peu moins peur comme ça ?).

Nous sommes en 1924 lorsque messieurs Banach et Tarski lâchent une bombe sur le monde des maths (bombe que je m’apprête à lâcher dans trois secondes, accroche-toi à ton canapé) : il existe un moyen de couper une boule en 5 parties et de les rassembler pour former deux boules de la même taille que la première.

On va s’arrêter là un petit moment et répéter ça calmement. Dans notre 3D habituelle, pas dans un espace bizarre à 52 dimensions (on adore ça en maths), si tu prends une orange, théoriquement, tu pourrais la séparer en 5 morceaux, et sans changer leur taille ou leur forme, les réassembler différemment pour obtenir deux oranges, pas plus petites qu’avant. Oui, tu as bien compris, on est en train de prouver que la multiplication des pains, c’est possible. Du coup, si on pousse le raisonnement, en répétant le processus (un peu comme la division cellulaire, dans le fond), tu peux obtenir tout un tas d’oranges à partir de celle que tu avais dans la main. Autrement dit, en partant d’un petit pois, tu peux multiplier les petits pois pour finir avec un immense tas de petits pois de la taille du soleil.

J’imagine que tu commences à flairer l’embrouille. Parce que si on était capable de faire cette construction en vrai, ça ferait longtemps qu’on s’en servirait pour créer de la matière, au lieu d’épuiser nos ressources comme des idiots. N’oublions pas que je te parle d’un paradoxe, pas d’un tuto bricolage. Eh oui, c’est bien un paradoxe, puisque si on parle en chiffres, on est en train de dire que 1 orange = 2 oranges (vu qu’on a pas rajouté de matière). Et 1 = 2, c’est le genre d’égalités qui font un peu stresser. Du genre, si on tombe dessus, on va faire un grand trait en travers de notre feuille en concluant que notre preuve est bien, bien fausse. Sauf que Banach et Tarski, ils ont sorti un raisonnement qui tient le coup, alors on est bien obligés de faire avec.

Si tu t’interroges sur leur démonstration justement, sache que je ne vais pas me lancer là-dedans. Parce qu’ils montrent pas ça seulement en 3D, ils font un truc beaucoup plus général (c’est tellement plus marrant). Et que ça parle de groupes libres, de moyennabilité, tout un tas de termes bien sympas : en gros c’est de l’algèbre, c’est pas visuel du tout, alors c’est très beau quand tu comprends quelque chose mais ça n’aide absolument pas à se représenter l’histoire (parce que, petite subtilité : ils ne disent pas « voilà comment couper une boule en 5 », ils prouvent qu’il existe un moyen de le faire. Ca aussi c’est un truc qu’on adore faire en maths : prouver l’existence des choses, et après on laisse aux autres scientifiques tout le plaisir de trouver comment ça se fait. Ca peut te sembler inutile du coup, mais disons que si tu cherches un truc à l’aveuglette, t’es quand même content de savoir qu’il est là quelque part et que tu cherches pas dans le vide).

Mais je ne vais pas te laisser tout seul, sans le moindre début d’explication ! Il se trouve qu’en 3D, on sait comment couper notre boule. Et ça c’est déjà plus parlant. Je vais quand même rester très en surface, mais si tu veux des détails, je te renvoie (ça va devenir une habitude) à la fantastique vidéo de Vsauce, qui illustre le tout avec beaucoup d’enthousiasme.

C’est en anglais, évidemment, et si ça te rebute trop je peux aussi te proposer une version française, très bien faite aussi mais un peu moins ludique, sur la chaîne El Jj.

En bref, l’idée c’est de découper ta boule en plusieurs ensembles infinis de points. Alors évidemment, avec ton ciseau tu auras du mal, c’est là tout le problème. Mais la magie de cette construction, c’est qu’en faisant tourner un ensemble tu retombes exactement sur un autre, du coup tu en as deux identiques, et si tu t’y prends bien à la fin tu as bien de quoi reconstruire deux boules. Si tu veux voir ce que ça donne en image sans te farcir les explications, il faut aller sur la vidéo de Vsauce à 15:45.

Une partie des subtilités de la construction repose sur les particularités de l’infini (on y arrive!), et c’est la dernière chose dont je vais te parler brièvement aujourd’hui (c’est aussi expliqué dans la vidéo). Imagine un hôtel, avec un nombre infini de chambres. On fait entrer une infinité de clients, et on en met un par chambre, de sorte que l’hôtel soit complet. Maintenant, admettons que le premier client rende les clés et parte. Notre esprit habitué à des quantités finies va donc se dire qu’une chambre a été libérée et qu’il faut faire venir un nouveau client pour que l’hôtel soit à nouveau complet. Alors qu’en réalité, si tu demandes à chaque client de se décaler d’une chambre, la première sera occupée, et toutes les autres aussi, puisqu’il y a une infinité de clients. En gros, l’infini moins 1, ça fait toujours l’infini. Et même l’infini moins 10000, ça fait toujours l’infini. Tu m’étonnes qu’on arrive sur des paradoxes avec des choses pareilles.

J’espère que je t’ai bien retourné le cerveau, et je te laisse un petit mois pour digérer ça (en espérant que tu seras toujours là pour la suite !). Et pour t’amadouer et te récompenser d’avoir tenu jusqu’ici, je te donne même deux chansons. Très différentes l’une de l’autre, elles ont toutefois le même titre : d’un côté Kansas, bien ancré dans le rock progressif des années 80, et de l’autre Dried Cassava, qui sont manifestement indonésiens et que j’ai découverts uniquement parce que leur chanson s’appelle « Paradox ». La magie d’internet.